2025-07-27 09:42
2025 年 7 月 26 日，上海世博展覽館迎來一場聚焦 "人工智能的數學邊界與基礎重構" 的高端論壇。作為世界人工智能大會（WAIC）的重要組成部分，這場由上海市普陀區人民政府與菲數中國主辦、上海市人工智能行業協會和上海東浩蘭生威客引力信息科技有限公司聯合承辦的盛會，正成為全球關注的焦點。當 AI 技術與數學研究進入深度交織的新階段，2025 WAIC的召開恰如一場及時雨，為二者的協同發展搭建了關鍵對話平臺。
近年來，人工智能與數學的雙向需求日益迫切，推動著這場論壇的誕生。一方面，當大模型參數突破萬億，傳統基于經驗的調參方法陷入瓶頸，模型的泛化能力、安全性、能耗控制等核心問題，亟待數學理論的系統性支撐 —— 大模型優化依賴凸優化與非凸優化理論，Transformer 架構的注意力機制根植于概率統計與信息論，機器學習安全涉及博弈論與密碼學，多模態融合則需要拓撲學與流形學習的支撐。另一方面，AI 對數學的反哺效應愈發顯著，DeepMind 的 AlphaGeometry 在證明歐幾里得平面幾何定理方面超越 IMO 參賽者平均水平，其核心正是將幾何問題轉化為 AI 擅長的符號推理任務，這種 "AI for Math" 的模式正在改寫數學研究范式。
在此背景下，2025 WAIC 的 "人工智能的數學邊界與基礎重構論壇" 亮點紛呈，全方位展現了 AI 與數學交叉領域的前沿動態與深度碰撞：
（一）來自菲爾茲獎得主的關注
兩位菲爾茲獎得主的深度參與成為論壇最大亮點。普林斯頓大學的 Charles Fefferman 通過視頻致辭，帶領觀眾回溯數學與計算的發展歷程，從早期機械驗證到如今 AI 賦能的協同演進，為全球研究者指明攻堅方向。而著名數學家、菲爾茲獎首位華人得主丘成桐教授為論壇特別選題命題，題目由其團隊聯合歐洲、日本數學家精心遴選，聚焦幾何與代數的交叉難題，直接考驗 AI 的深層推理能力，由機器模型現場作答，屏幕實時展示 AI 推理過程。這種 "人類出題 — 機器作答" 的模式，既是對 AI 能力的檢驗，也是人機協同的一次生動演示，旨在通過頂尖數學家的 "問題嗅覺"，引導 AI 聚焦真正具有突破性的核心難點，避免技術算力的無效消耗。
（2） 大模型現場解答數學題
丘成桐教授的命題引發 "人機對抗" 看點。上海人工智能實驗室、商湯科技、階躍星辰、MiniMax 四家機構的基礎大模型現場解題，左側屏幕實時展示 AI 推理過程。其中，上海人工智能實驗室的 Intern-IMO 系統成功破解 2025 年國際數學奧林匹克競賽首題，通過自然語言推理完成幾何構型分析與歸納證明，獲 IMO 官方打分員認可，該模型數學直覺比較出色。在思考過程中沒有做冗余的探索，快速找到了正確思路把題做對了；商湯 "日日新" 大模型更通過圖文混合輸入，分別以坐標計算與輔助線構造兩種方法求解平面幾何題，展現多路徑推理能力，對于第一問，它巧妙地運用三項遞推關系，通過數學歸納法清晰地證明了多項式的階數；第二問的證明，通過引入精妙的變量代換，將看似復雜的恒等式兩端化歸為統一的三角形式；而在第三問證明時，將多項式的內積問題轉換回三角函數的求和。整個解答邏輯清晰，層層遞進，不僅解決了問題，更揭示了問題背后的數學結構之美；階躍星辰模型則在不等式證明中展現 "工具調用" 能力，當自身代數計算出錯時，主動借助外部工具驗證并修正思路，最終完成形式化驗證，其中，流程中的step3能正確理解數學中“芽”的概念，并且成功構造出題目所要求的素理想，并且嚴格驗證其滿足素性。此外，Step3能通過構造非平凡的函數例子來證明，構造出的素理想非平凡素理想。這也體現了，step3已經具備了理解和運用專業數學知識，并進行成熟的數學邏輯推理的潛力；MiniMax的M1正確地解答本來的問題之后，還正確地回答了“條件減弱后，結論是否成立”的問題， 而4o在經過幾輪提示后才針對這個問題給出正確的答案但是沒有M1的思路清晰和嚴謹。
（三）數學家與大模型的思維激蕩
圓桌論壇上，數學家與大模型團隊展開深度交鋒。西班牙國家研究委員會研究員鄭凡與上海人工智能實驗室專家合作，展示 AI 對復雜幾何題的分步拆解，模型通過分類討論排除不可能情況，最終鎖定陽光線數量規律；復旦大學印佳教授與商湯團隊則呈現 AI 對學生錯誤解答的批改過程，模型不僅指出角度計算失誤，還追溯邏輯漏洞源頭。上海科技大學蔡明亮教授點評稱，大模型在概率遞推問題中展現的邏輯鏈完整性令人驚訝，但在需要 "反直覺" 構造的場景仍顯不足，而這正是人類數學家的核心價值所在。
（四）數學與 AI 的握手：國際高校結對
論壇現場舉行中外學生 "結對" 儀式，10 位來自牛津大學、劍橋大學、多倫多大學、慕尼黑工業大學等國際高校，與上海交大、復旦大學、同濟大學等沿滬寧高校的數學與 AI 專業學生攜手，象征數學與 AI 的跨域融合。中國科學院院士徐宗本、普陀區委副書記周艷等見證這一時刻。結對后，學生將圍繞 "AI 輔助形式化證明"" 數論問題的機器學習探索 "等課題開展聯合研究，形成" 本土培育 + 國際交流 " 的人才培養閉環，為全球數學智能領域儲備青年力量。
（五） 頂尖學者的主旨演講
中國科學院院士徐宗本在《AI：無限維問題 vs 有限維技術》演講中，直指 AI 架構設計的核心矛盾 —— 智能問題本質是無限維的，而技術實現卻受限于有限參數，提出通過算子簇公共不動點理論設計深度架構，并以實驗證明大模型存在 "冗余閾值"，為模型優化提供數學依據。徐院士提到，智能就是指有限的知識走向無限的知識所呈現的性質。無限維問題是本質，有限維技術是現實，設計它的架構一定要從無窮維出發，通過修正算子的性質才能構成一個可用的架構。歐洲科學院院士 Torsten Hoefler 則聚焦算力與推理進化，分析大語言模型從 "下一詞預測" 到 "思維樹推理" 的躍遷，提出通過量化壓縮與稀疏激活提升效率，其團隊研發的網絡拓撲策略使 AI 算力利用率提升 10-15 倍。
（六）兩大國際數學實驗室首發
Hitchin–Ngo 實驗室（聚焦代數幾何與數學物理）與 Fefferman 實驗室（深耕流體力學與納維 - 斯托克斯方程）在滬揭牌，標志著國際頂尖數學研究力量落地上海。Hitchin–Ngo 實驗室將攻關鏡像對稱等前沿問題，探索幾何與物理的深層聯系；Fefferman 實驗室則致力于用 AI 破解流體力學奇異性難題，助力天氣預報與湍流模擬。西班牙數學科學委員會代表與普陀區區長共同為實驗室啟動，未來將采用 "雙基地" 模式，聯動歐洲與上海的算力和數據資源。
（七）全球數學家的思辨對話
"數學突破是否通向 AGI 的鑰匙" 雙邊對話中，菲爾茲數學科學研究院前院長 Kumar Murty 指出，AI 的 "幻覺" 或許是想象力的種子，而人類數學家的價值在于從反直覺中提煉真理；上海交大許志欽教授則結合深度學習理論收縮現象，強調需建立類似 "牛頓定理" 的 AI 基礎理論；法國學者 Mathieu Laurière 提出，多代理 AI 系統的社交智能進化，將是 AGI 突破的關鍵方向，而拓撲學等數學工具將在其中發揮核心作用。
整場論壇中，上海市委常委、副市長陳杰在致辭中明確提出：“要以數學的基礎創新驅動 AI 技術迭代，賦能產業升級，面向全球征集‘AI + 數學’綜合性解決方案，加快構建一流創新生態。” 普陀區委書記胡廣杰也表示將 “主動服務沿滬寧產業創新帶建設，推動‘AI + 數學’協同攻關，把普陀打造成為沿滬寧產業創新帶的‘引力場、智匯源、孵化器和服務中心’”。這些表態勾勒出城市戰略藍圖 —— 上海正通過建設數學與交叉學科研究院、算法創新研究院，推動 “AI + 數學” 從基礎研究到產業應用的全鏈條突破。從菲爾茲獎得主的命題挑戰到中外學子的攜手同行，從實驗室揭牌的長效布局到思維激蕩的即時碰撞，這場盛會不僅展現了 AI 與數學融合的當下成果，更錨定了未來 “人機共演” 的智能圖景。展望未來，隨著雙引擎在上海落地生根，這里有望成為全球數學智能理論的突破地、技術的策源地與產業的新高地，為智能時代貢獻獨特的 “上海方案”。
二、AI 如何重塑數學研究？從輔助工具到共創伙伴的演進
AI 對數學研究的影響并非一蹴而就，而是歷經數十年演進，從早期的計算輔助逐步發展為具備協同能力的研究伙伴，每一步突破都與具體技術工具和學術實踐緊密相關，深刻改變著數學研究的范式與邊界。
（一）機械驗證與形式化萌芽（1970s-2000s）
這一階段的核心是將數學證明從 "紙面推理" 轉化為 "機器可驗證代碼"，計算機開始承擔起 "超級校對員" 的角色，其核心價值在于通過嚴格的形式化邏輯消除人類證明中可能存在的模糊性與疏漏。
1976 年，Appel 與 Haken 對四色定理的證明堪稱里程碑 —— 這個困擾數學界百年的難題，要求證明 "任何平面地圖只需四種顏色即可區分相鄰區域"，其關鍵在于驗證 1834 個 "可約構形" 的邏輯自洽性。由于人工計算難以完成如此龐大的工作量（僅單個構形的驗證就需數頁推導），研究者首次引入計算機進行批量驗證：他們將每個構形轉化為可計算的邏輯命題，機器則逐一檢驗其 "可約性" 與 "不可避免性"。但此時的機器僅能執行預設的計算步驟，核心的構形選擇仍完全依賴人類直覺，Haken 的女兒 Dorothea Blostein 甚至需要手工核對數百頁微縮膠片的計算結果，期間還發現了多處可修復的錯誤。這一突破引發學界激烈爭議：哈佛大學數學家 Mackenzie 批評 "這更像工程驗收而非數學證明"，而支持者則認為它開辟了新路徑。
2005 年，Gonthier 使用 Coq 證明助手完成四色定理的形式化驗證，標志著形式化方法的成熟。形式化的核心是將每一個數學概念（如 "自然數"" 平方 ""等式"）都轉化為嚴格的邏輯定義，每一步推理都必須符合預設的規則。這種近乎苛刻的嚴謹性，讓數學證明首次擺脫了 "人類直覺可能出錯" 的隱患。正如研究指出的，形式化證明 "為爭議性成果提供了極高的正確性保障，尤其適合那些因過于冗長而難以找到評審的復雜證明"。
這一時期的另一標志性項目是 "Flyspeck 計劃"。1998 年，Hales 通過復雜計算證明了開普勒猜想（三維空間中最密的球體堆積方式為面心立方堆積，堆積密度約為 74%），但由于證明過程涉及數百萬個幾何構型的分析與優化，傳統人工評審難以完全驗證其正確性 —— 評審團在經過數年審查后僅能表示 "99% 確定證明正確"。為此，Hales 于 2003 年啟動形式化驗證項目，原計劃需 20 年，最終在 21 位研究者協作下用 11 年完成。過程中，計算機不僅確認了原證明的正確性，還糾正了幾處微小疏漏（如一個幾何不等式的邊界條件設定偏差）。Hales 感慨："這就像用顯微鏡檢查藝術品，雖繁瑣卻能發現肉眼遺漏的細節。" 這種 "人類提出框架 + 機器驗證細節" 的模式，為后續更復雜的定理證明提供了可復用的范本。
（二）算法驅動的邏輯推理（2010-2020）
隨著算法理論與算力的提升，機器開始處理超大規模邏輯推理，SAT（布爾可滿足性問題）與 SMT（可滿足性模理論）求解器成為核心工具，其能力遠超人類手動計算極限，開始觸及一些傳統方法難以解決的數學問題。
2016 年，Marijn Heule 團隊用 SAT 求解器解決 "布爾畢達哥拉斯三元組問題" 的成果登上《自然》雜志，引發學界廣泛關注。團隊通過計算機證明得出結論：N=7824 是滿足條件的最大數，而 {1,...,7825} 則無法實現這樣的劃分。
這個證明堪稱 "暴力推理" 的典范：計算機耗費 4 CPU 年（單臺電腦約 1460 天）運算，生成 200TB 原始數據，壓縮后仍達 68GB。其創新之處在于采用 "分而治之" 的啟發式策略 —— 將問題拆解為數千個子命題，用剪枝算法優先處理最可能成立的路徑，最終找到滿足條件的劃分方式。普林斯頓大學教授 Conway 曾質疑："人類永遠讀不完這樣的證明，它還能算數學嗎？" 但學界最終承認，這種方法拓展了數學證明的邊界 —— 有些真理，或許只能通過機器才能觸及。
同期，形式化證明工具的應用范圍持續擴大，開始深入更抽象的數學領域。2019 年，數學家 Scholze 啟動 "液體張量實驗"，旨在形式化驗證他與 Clausen 關于 "液體向量空間" 的重要定理。這個僅 10 頁的人類證明，因涉及大量凝聚態數學的前置知識（如完美疇、固體向量空間等抽象概念），形式化過程異常復雜：研究者需要先將這些概念轉化為 Lean 證明助手可理解的定義，再逐步驗證定理的每一步推導。整個過程耗時 18 個月，集結了全球數學家協作完成，最終 Lean 確認了定理的正確性，同時也讓這個抽象領域的邏輯框架更加清晰。參與項目的學者發現，形式化過程迫使他們重新定義每一個模糊的概念（如 "液體性" 的嚴格數學描述），這種 "慢思考" 反而讓理論體系更堅固。
這一階段的機器輔助證明已展現出明顯的 "協作性" 特征：人類負責提出核心猜想與證明框架，機器則處理規模化的邏輯驗證，二者形成互補。例如在開普勒猜想的形式化中，研究者發現原證明中一個被認為 "顯然成立" 的引理（關于某類多面體體積的不等式）其實需要更嚴格的推導，而機器的嚴格性恰好彌補了人類直覺的疏漏。
（三）深度學習與大模型時代（2020 至今）
2020 年以來，深度學習與大語言模型的發展使 AI 從 "驗證工具" 升級為 "發現助手"，開始主動參與數學規律的挖掘與猜想的生成，這一轉變徹底重塑了數學研究的范式，讓機器從 "證明的執行者" 變為 "規律的探索者"。
在形式化證明領域，Lean 等工具與 AI 的融合催生了新工作模式，人機協同的深度進一步提升。陶哲軒團隊 2023 年的實踐頗具代表性：他們利用 Lean 對加法組合學中的一個定理進行形式化證明，33 頁的人類證明經 20 位研究者三周協作完成轉化。過程中，機器不僅發現原證明中一處引理的冗余性（該引理看似必要，實則可由其他條件推導得出），還通過對證明結構的分析，提煉出更通用的證明框架，可適用于更廣泛的組合問題。陶哲軒在分享中提到，使用 Lean 初期讓他的工作效率暫時下降了 25 倍（這一比例被稱為 "de Bruijn 因子"），但這種 "被迫放慢的思考" 反而帶來新洞察 —— 形式化迫使研究者拆解每一個模糊的步驟，重新審視證明的邏輯鏈條。他還觀察到，隨著 AI 輔助工具的完善（如自動引理推薦、證明路徑預測），de Bruijn 因子正快速下降，未來有望降至 1 以下，這將徹底改變數學研究的效率。
AI 在規律發現與猜想生成上的能力也日益凸顯，開始在數據中挖掘人類難以察覺的數學關聯。Davies 團隊在紐結理論中的研究堪稱典范：紐結的 "signature 值"（一個刻畫拓撲性質的整數）與雙曲不變量（描述紐結補空間幾何特征的參數，如雙曲體積、陳省身不變量等）看似毫無關聯，而他們用神經網絡分析近 200 萬個紐結數據后發現，僅三個參數（縱向平移、meridional 平移的實部與虛部）就決定了 signature 值的變化。通過顯著性分析（一種衡量輸入特征對輸出影響的方法），研究者排除了其他 21 個無關參數，最終引導數學家證明：signature 值與這三個參數存在明確的解析關系（可表示為某個二次型）。這種 "機器發現規律 — 人類證明規律" 的模式，已在微分幾何、表示論等領域廣泛應用，其核心價值在于突破人類直覺的局限 —— 機器能從海量數據中識別出被噪聲掩蓋的深層關聯。
大語言模型的加入進一步拓展了 AI 在數學研究中的應用場景，開始模擬人類的逐步推理過程。GPT-4 等模型在美國數學邀請賽（AIME）中的表現接近優秀高中生水平，能獨立解決部分國際數學奧林匹克（IMO）試題。但同時，這些模型也暴露出 "幻覺" 缺陷 —— 例如在計算 "7×4+8×8" 時，曾先給出錯誤答案 120，隨后又用正確步驟推導出 92，這種矛盾源于其 "模式匹配" 而非 "邏輯演繹" 的工作機制：模型更擅長模仿人類推理的表面形式，卻難以掌握數學的深層邏輯。
不過，針對這些缺陷的改進方法正在涌現。2024 年，DeepMind 提出的 FunSearch 框架讓大語言模型生成 Python 程序解決組合問題，在 Cap set 問題上超越人類構造的最好結果。其核心是 "生成 — 驗證" 循環：LLM 提出候選程序，外部數學工具檢驗其正確性，優質結果反饋給模型優化下次生成，這種閉環有效抑制了 "幻覺"。同期，AlphaGeometry 結合符號推理與神經網絡，在 IMO 試題中超越人類平均水平，其對 2004 年第 4 題的證明引入虛數坐標系，將幾何問題轉化為代數運算，這種跨界思路連資深幾何學家都感到驚訝。
此外，AI 在構造數學對象上展現出獨特優勢。Wagner 用強化學習構造出極值圖論的復雜反例，其結構復雜度遠超人類手動構造水平；Fawzi 團隊通過強化學習發現更快的矩陣乘法算法，打破了 decades-old 的紀錄；AlphaEvolve 不僅解開 300 年懸而未決的 "接吻數問題"（三維空間中最多有 12 個等徑球同時與一個中心球相切），還在 14 個數學任務上實現技術突破。這些案例印證了 AI 在 "構造性問題" 上的潛力 —— 通過海量試錯與策略優化，機器能找到人類難以想到的特殊結構。
值得注意的是，當前 AI 的創新仍有明顯局限。劍橋大學數學家 Kevin Buzzard 指出："AI 能生成漂亮的證明步驟，卻提不出 ' 朗蘭茲綱領 ' 這樣的宏大理論。" 機器的突破多源于對海量數據的統計歸納，而人類數學家能從看似無關的領域中提煉出統一框架（如朗蘭茲綱領將數論、代數幾何與表示論聯系起來），這種 "從 0 到 1" 的原創性，仍是 AI 尚未跨越的鴻溝。
三、上海：AI 與數學融合的天然沃土與實踐路徑
上海作為中國人工智能發展的高地與數學研究的重鎮，在推動 AI 與數學融合發展上具備獨特優勢，正通過系統化布局打造全球標桿。
上海的科創基因與學術積淀為 AI 與數學交叉研究提供了沃土。在 AI 領域，上海擁有全國領先的算力基礎設施 —— 華為 384 超節點真機等尖端設備性能領先全球，為大規模數學建模與 AI 訓練提供強大支撐；張江人工智能島聚集了數百家中外 AI 企業，形成從算法研發到產業應用的完整生態。在數學領域，復旦大學、上海交通大學等高校的數學學科長期位居全國前列，擁有多個國家重點實驗室，在微分幾何、組合數學等方向的研究實力雄厚，這種 "AI 產業集群 + 頂尖數學學科" 的雙重優勢，使上海成為探索二者融合的理想試驗田。
更關鍵的是，上海作為國際大都市，具備吸引全球頂尖人才的獨特魅力。菲爾茲獎得主丘成桐在滬設立的研究中心已聚集一批青年數學才俊，而 WAIC 的常年舉辦更讓上海成為全球 AI 專家的 "會客廳"。這種人才集聚效應，為突破 AI 與數學融合的前沿難題提供了智力支撐。
上海正圍繞數學與 AI 融合的三大前沿方向布局：
上海正逐步通過四大舉措完善融合發展生態：
通過這些舉措，上海正將 WAIC 的思想碰撞轉化為持久動能，努力成為全球 AI 與數學融合研究的 "策源地" 與 "示范窗"。這座城市的實踐表明，當頂尖數學思維遇上領先 AI 技術，不僅能推動基礎理論突破，更能為產業升級注入深層動力 —— 這正是上海對智能時代的獨特貢獻。
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